【IIRフィルタ】第４回：簡単一次IIRフィルタのステップ応答波形

まず、入力$x(nT)$は、ずっと1。式にすると、

$$x(nT) = 1 　　(n=0,1,2,,,)$$

これを入力として、(式11)のディジタルフィルタ出力$y(nT)$を計算すると16に近づく。

$$y(nT) → 16$$

この値は、最終値の定理として知られている計算式からも得られる。

フィルタの伝達関数を$G(z)$として、値が１のステップ入力を入力したとき、出力$y(nT)$の最終値は、

$$\lim_{x \to \infty}y(nT) = \lim_{z \to 1}(z-1) * G(z) * \frac{z}{z-1}$$

$$= \lim_{z \to 1}z * G(z)$$

今計算しているディジタルフィルタの伝達関数は、先の記事

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の（式５）より、

$$G(z) = \frac{1}{1 – e^{-\frac{T}{\tau}} * z^{-1}}　　　（式5）$$

である。これを代入して、$y(nT)$の最終値は

$$\lim_{n \to \infty}y(nT) = \lim_{z \to 1}\frac{z}{1 – e^{-\frac{T}{\tau}} * z^{-1}}$$

$$= \frac{1}{1 – e^{-\frac{T}{\tau}}}$$

先の記事で、簡単な演算を目論んで

$$1 – e^{-\frac{T}{\tau}} =\frac{1}{16}$$

と置いたので、$y(nT)$ の最終値は、16となる。

グラフの比較波形として、アナログ波形を載せるが、最終値を一致させて比較しやすくするために、値１６のステップ入力を入れたアナログ１次ローパスフィルタ出力波形

$$y(t) = 16 * (1-e^{-\frac{t}{15.4946E-3}})$$

を示している。$15.4946E-3$は、ディジタルフィルタ設計式から得られた時定数である。約15ms。