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【FIRフィルタ】第5回:単純移動平均周波数特性(4回平均)

次は、4回の単純移動平均をしてみよう。

■図の入出力関係は

$$y(nT) = x(nT) + x((n-1)T) + x((n-2)T) + x((n-3)T)     (式1)$$

■伝達関数を求める。(式1)の両辺をまずZ変換する。

$$y(nT) => Y(z) ,  x(nT) => X(z) ,  x((n-1)T)) => X(z)*z^{-1} ,  $$

$$x((n-2)T)) => X(z)*z^{-2} ,  x((n-3)T)) => X(z)*z^{-3}$$

と置き換える。すると

$$Y(z) = X(z) + X(z)*z^{-1} + X(z)*z^{-2} + X(z)*z^{-3}$$

$$= X(z) * { 1 + z^{-1} + z ^{-2} + z^{-3} }$$

次に出力$Y(z)$と$X(z)$の比の形に変形する。

$$Y(z)/X(z) =   1 + z^{-1} + z ^{-2} + z^{-3}      (式2)$$

これが伝達関数である。簡単のため、$Y(z) / X(z) = G(z)$とおくと、

$$G(z) =   1 + z^{-1} + z ^{-2} + z^{-3}        (式3)$$

これは、等比級数である。これをまとまった形に変形する。(式3)の両辺に$z^{-1}$をかけると、

$$G(z)*z^{-1} =    z^{-1} + z ^{-2} + z^{-3} + z^{-4}       (式4)$$

(式3)の両辺から、(式4)の両辺を引いて

$$G(z) – G(z)*z^{-1} = 1 – z^{-4}$$

$G(z)$について整理すると、

$$G(z) = (1 – z^{-4})/(1 – z^{-1})     (式5)$$

■次に周波数特性を求める。伝達関数の式において、$z^{-1}$を$e^{-jωT}$に置き換える。左辺の$Z$は、$e^{jωT}$に置き換える。$ω$は角周波数。$T$はサンプリング周期。

$$G(e^{jωT}) = (1 – e^{-jω4T})/(1 – e^{-jωT})      (式6)$$

(式6)の分子は、オイラーの公式

$$sinθ = ( e^{jθ} – e^{-jθ}) / 2j$$

を使って、

$$1 – e^{-jω4T}  = e^{-jω2T} * (e^{jωT} – e^{-jωT})$$

$$= 2j * e^{-jω2T} * ( e^{jωT} – e^{-jωT} ) / 2j$$

$$= 2j * e^{-jω2T} * sin(2ωT)$$

となる。

(式6)の分母も同様に、分子に対して$4T$が$T$になっただけなので

$$1 – e^{-jωT}  = 2j * e^{-jωT/2} * sin(ωT/2)$$

となる。したがって、(式6)は、

$$G(e^{jωT}) = sin(2ωT)÷[sin(ωT/2)* e^{-jωT3/2}]    (式7)$$

これが周波数特性である。

■参考
2回移動平均の周波数特性はこちらの記事を確認

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