単純４回移動平均の周波数特性は、下式であることがわかった。
$$G(e^{j\omega T}) = \frac{sin(2\omega T)}{sin(\omega T/2)} * e^{\frac{-3j\omega T}{2}} （式7）$$
この式の振幅部分(e^以外の部分)を切り出して、絶対値にするとゲイン特性（振幅特性）は、
$$g(\omega) = \frac{|sin (2\omega T)|} {|sin (\omega T/2)|} （式8）$$
ω=0のときは右辺は0/0になるので、その時の値は分子と分母を各ωで微分して、ω=0を代入して
$$lim_{\omega \to 0}\frac{2T * cos(2\omega T)}{\frac{T}{2}*cos(\frac{\omega T}{2})} = 4 （式9）$$
になる。
詳細は、森口、宇田川、一松：「数学公式Ⅰ～微分積分・平面曲線～」、岩波全書、42ページ（1981年17刷）を参照して下さい。今は、新しい版になっています。
あるいは、公式
$$sin4θ = 8sinθ(cosθ)^{3} – 4sinθcosθ （式10）$$
を（式８）の分子に用いて、ゲイン特性を
$$g(\omega) = 8 * (cos(\omega T/2))^{3} – 4 * cos(\omega T/2) \text{（式11）}$$
としてもよい。
上述の$sin4θ$の公式は、森口、宇田川、一松：「数学公式Ⅱ－級数・フーリエ解析－」、岩波全書、１８６ページ（1979年17刷）を参照してください。いまは、新しい版になっています。
位相特性は、（式７）の位相部を切り出して
$$φ(\omega) = \frac{-3\omega T}{2} (式12)$$
具体的な例として、サンプリング周期を1000Hz（制御周期1ms）、横軸周波数グラフにする。グラフからサンプリング周期の1/4の250Hzでゲインがゼロ。フィルタリングされる。サンプリング周期の1/10の100Hzの正弦波信号は入力の約３倍になって、出力現れる。0Hz、すなわち、直流は、４倍になって現れる。
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単純移動平均フィルタのゲイン特性と位相特性（４回平均）Excelデータ
