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【IIRフィルタ】第13回:係数1/8の一次IIRフィルタのステップ応答、インパルス応答

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の記事から、一次遅れのIIRフィルタの計算式は

$$y(nT) = x(nT) +  e^{-\frac{T}{\tau}} * y((n-1)T)    (式8)$$

となることが分かっている。この式を変形すると

$$y(nT) = x(nT) – (1-e^{-\frac{T}{\tau}}) * y((n-1)T) + y((n-1)T)   (式9)$$

となる。

ブロック図で書くと

となる。

今までの記事では、係数 $1 – e^{-\frac{T}{\tau}}$ を

$$1 – e^{-\frac{T}{\tau}} = \frac{1}{16}$$

すなわち、右シフト演算4回として、実装した場合の各種波形グラフを見てきた。

ディジタルフィルタの計算式は、

$$y(nT) = x(nT) – \frac{1}{16} * y((n-1)T) + y((n-1)T)   (式11)$$

である。

このとき、たとえばサンプリング周期T=1msとすると、時定数は約15msになる。

今回は、時定数を変えてみよう。たとえばサンプリング周期T=1msのとき、時定数は約7msになるようにする。係数としては、1/16を1/8にする。右シフト3回で実装することを目論んでいる。

$$1 – e^{-\frac{T}{\tau}} = \frac{1}{8}$$

よって、ディジタルフィルタの計算式は

$$y(nT) = x(nT) – \frac{1}{8} * y((n-1)T) + y((n-1)T)   (式24)$$

となる。

正確な時定数τは

$$e^{-\frac{T}{\tau}} = 1 -\frac{1}{8} = -0.875$$

にて、サンプリング周期T=1msとすれば、時定数

$$\tau = 7.488876[ms]$$

である。

さて、波形を示す。

ステップ応答の時間波形(整数計算)

127のステップ入力の場合の応答である。時定数$\tau =7.488876$[ms]のアナログローパスフィルタの応答と比較している。横軸は、サンプリングn。サンプリング周期T=1msとすれば、横軸は時間[ms]。

ディジタルフィルタ出力$y(nT)$の場合は、ゼロに近づかない。7で飽和する。途中の1/8で7が桁落ちでゼロになってしまい、演算結果に反映されず、残ってしまう。

ステップ応答の時間波形(整数計算)

ディジタルフィルタは127のステップ入力を入れると、最終値は$127 * 8 = 1016$になる。最終値がなぜ8倍されるかというのは、「最終値の定理」から決まる。

最終値の定理については、

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を参照。

グラフでは、1016のステップ入力のアナログ1次ローパスフィルタ出力と比較している。

ほぼ同じになる。

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係数1/8の一次IIRフィルタのステップ応答、インパルス応答 Excelデータ

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